Основные формулы электромагнетизма

Электромагнетизм

Закон Кулона

$\vec F_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^3}\vec r_{21}$

Электростатическое поле

$\vec E_q = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec r$

$\vec E = -\vec\nabla\varphi$

$q\vec E = F_q\;\;q\varphi = W_q$

$\oint_l\vec E\vec{dl}=0$

$[\vec\nabla;\vec E]=0$

$\oint_S\vec E\vec S = \frac{\sum_S q}{\varepsilon_0}$

$\vec\nabla\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Диполь

$\vec p = q\vec l$

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p \cos\theta}{r^2}$

$\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p}{r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta}$

$\vec N = [\vec p;\vec E]$

$W_p = -\vec p\vec E$

Некоторые поля, вычисленные по теор. Гаусса

Бесконечная заряженная плоскость:

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Поле между двумя заряж. плоскостями:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

Поле вне заряженной сферы, вне заряженного шара:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$

Поле внутри заряженного шара:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}r$

Поляризуемость, поляризация

Дипольный момент молекулы:

$\vec p = \sum_i q_i <\vec r_i>$

Поляризуемость молекулы:

$\vec p = \beta\varepsilon_0\vec E$

Поляризованность диэлектрика:

$\vec P = \frac{1}{\Delta V}\sum_{\Delta V} \vec p$

Связь поляризованности и напряженности поля для изотропных диэлектриков (через диэлектрическую восприимчивость):

$\vec P = n\beta\varepsilon_0\vec E = \varkappa\varepsilon_0\vec E$

При включении поля через замкнутую поверхность выходит наружу (входит внутрь) заряд:

$q_{in}^* = -q_{out}^* = \oint\vec P\vec dS$

$\rho^* = -\vec\nabla\vec P$

При включении поля на поверхность выходит связанный заряд:

$\sigma^* = \varkappa\varepsilon_0E_n$

Вектор электрического смещения:

$\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P = \varepsilon_0(1+\varkappa)\vec E = \varepsilon_0\varepsilon\vec E$

$\vec\nabla \vec D = \rho$

Внутри диэлектрика закон Кулона приобретает вид:

$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{\varepsilon r^2}$

Условия на границе двух диэлектриков

$D_{1n}=D_{2n}$

$E_{1_\tau}=E_{2_\tau}$

Электроемкость и конденсаторы

Электроемкость:

$q = C\varphi$

Емкость конденсатора:

$C = \frac{q}{\varphi_1-\varphi_2}=\frac{q}{U}$

Емкость плоского конденсатора:

$C = \frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}$

Емкость сферического конденсатора:

$C = 4\pi\varepsilon\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$

f