ЭДС индукции в контуре

Представим контур на плоскости чертежа, по которому ездит токопроводящая планка. Контур пронизывает магнитное поле, направленное в чертеж. Электроны в планке движутся, и на них действует сила Лоренца:

$\vec F = e[\vec v;\vec B]$

Эта сила аналогична той, что действовала бы на электроны со стороны некоторого электрического поля

$\vec F = e\vec E$

Отсюда следует, что напряженность этого поля:

$\vec E = [\vec v;\vec B]$

ЭДС будет равна циркуляции напряженности по контуру, но электрическое поле однородно, а его напряженность не равна нулю только в планке, поэтому:

$\varepsilon = (\vec E,\vec l)$

Под длиной здесь подразумевается длина планки, а разность потенциалов ищется между двумя точками, где планка касается контура. Вектор длины соответствует направлению обхода (тока) контура, которое связано с направлением поля правилом правого винта

$\varepsilon = ([\vec v;\vec B],\vec l)$

Преобразуем:

$\varepsilon = (\vec B,[\vec l;\vec v])$

$\varepsilon = \frac{(\vec B,[\vec l;\vec vdt])}{dt}$

Легко видеть, что

$[\vec l;\vec vdt] = -\vec n dS$

— Элементарная убыль площади при смещении планки, направленная по нормали к контуру. В итоге:

$\varepsilon = \frac{-(\vec B,\vec n dS)}{dt}$

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

Т.е. ЭДС индукции в контуре равно убыли производной магнитного потока через контур по времени.

[txt]